一元二次不等式求解步骤
掌握以下五个步骤，轻松解决任何一元二次不等式问题
整理标准形式
将不等式化为标准形式：
ax² + bx + c > 0 或
ax² + bx + c < 0
确保 a > 0，若a < 0则两边乘-1并改变不等号方向
求对应方程的根
解方程 ax² + bx + c = 0
- 公式法：x = [-b ± √(b²-4ac)]/(2a)
- 因式分解法：若能分解为(x-x₁)(x-x₂)=0，则根为x₁, x₂
分析二次函数图像
根据a的符号和判别式Δ=b²-4ac判断抛物线开口方向和与x轴交点：
- a > 0：抛物线开口向上
- a < 0：抛物线开口向下
- Δ > 0：两个不相等实根x₁, x₂（x₁ < x₂）
- Δ = 0：两个相等实根x₀
- Δ < 0：无实根
确定解集
根据图像位置确定不等式成立的区间：
| 类型 | Δ > 0 | Δ = 0 | Δ < 0 |
|---|---|---|---|
| ax²+bx+c > 0 | x < x₁ 或 x > x₂ | x ≠ x₀ | 全体实数 |
| ax²+bx+c < 0 | x₁ < x < x₂ | 无解 | 无解 |
验证端点
注意不等号是否包含等号，若为≥或≤，则包含相应的根。
示例演示
解不等式：2x² - 5x - 3 > 0
- 标准形式：2x² - 5x - 3 > 0（a=2>0）
- 求根：Δ=25+24=49，x=[5±7]/4 → x₁=-1/2, x₂=3
- 图像：开口向上，与x轴交于(-1/2,0)和(3,0)
- 解集：x < -1/2 或 x > 3
交互式求解器
输入一元二次不等式的系数，系统将自动求解并展示完整解题步骤
求解结果
输入的不等式：
解题步骤：
最终答案：
请在左侧输入一元二次不等式的系数并点击"求解不等式"按钮
示例演示
通过不同类型的示例，深入理解一元二次不等式的求解方法
示例1：两个不相等实根
解不等式：
2x² - 5x - 3 > 0
标准形式：2x² - 5x - 3 > 0（a=2>0）
求根：Δ = (-5)² - 4×2×(-3) = 25 + 24 = 49
x = [5 ± √49]/(2×2) = [5 ± 7]/4
x₁ = (5-7)/4 = -1/2，x₂ = (5+7)/4 = 3
图像分析：a=2>0，抛物线开口向上，与x轴交于(-1/2, 0)和(3, 0)
解集：x < -1/2 或 x > 3
最终答案：
(-∞, -1/2) ∪ (3, +∞)
示例2：两个相等实根
解不等式：
x² - 4x + 4 ≥ 0
标准形式：x² - 4x + 4 ≥ 0（a=1>0）
求根：Δ = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0
x = [4 ± √0]/(2×1) = 2
x₁ = x₂ = 2（重根）
图像分析：a=1>0，抛物线开口向上，与x轴相切于(2, 0)
解集：x ≠ 2（因为不等号为≥，所以包含x=2）
最终答案：
(-∞, 2] ∪ [2, +∞) = (-∞, +∞)
示例3：无实根
解不等式：
x² + 2x + 3 < 0
标准形式：x² + 2x + 3 < 0（a=1>0）
求根：Δ = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8
Δ < 0，方程无实根
图像分析：a=1>0，抛物线开口向上，与x轴无交点
解集：对于任意x，x² + 2x + 3 > 0，因此不等式无解
最终答案：
∅（空集）
示例4：a为负数
解不等式：
-x² + 3x + 4 ≥ 0
标准形式：两边乘-1，不等号方向改变
x² - 3x - 4 ≤ 0（a=1>0）
求根：Δ = (-3)² - 4×1×(-4) = 9 + 16 = 25
x = [3 ± √25]/(2×1) = [3 ± 5]/2
x₁ = (3-5)/2 = -1，x₂ = (3+5)/2 = 4
图像分析：a=1>0，抛物线开口向上，与x轴交于(-1, 0)和(4, 0)
解集：-1 ≤ x ≤ 4（因为不等号为≤）
最终答案：
[-1, 4]