探索数学在日常生活中的应用 - 通过问题分析、建立方程和求解过程，掌握一元一次方程解决实际问题的方法
螺栓与螺母的配套生产问题
商品销售盈利与亏损的计算
体育比赛中的积分计算
不同方案的长期费用比较
某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
核心关系：螺栓与螺母的配套比例为 1:2，即1个螺栓需要配2个螺母。
已知条件：
配套关系分析：
要使螺栓和螺母刚好配套，螺母的数量必须是螺栓数量的2倍：
螺母数量 = 2 × 螺栓数量
代入具体表达式：
2000(22-x) = 2 × 1200x
设生产螺栓的工人为 x 名，则生产螺母的工人为 (22-x) 名。
未知数选择理由：
选择螺栓工人数为未知数，因为螺母工人数可以通过总人数减去螺栓工人数得到。
根据配套关系：螺母数量 = 2 × 螺栓数量
代入具体表达式：
2000(22-x) = 2 × 1200x
方程含义：
左边：螺母的总产量（2000个/人 × 螺母工人数）
右边：2倍螺栓的总产量（2 × 1200个/人 × 螺栓工人数）
原方程：
2000(22-x) = 2 × 1200x
去括号
44000 - 2000x = 2400x
移项
44000 = 2400x + 2000x
合并同类项
44000 = 4400x
系数化为1
x = 44000 ÷ 4400
x = 10
解方程要点：
生产螺栓的工人：x = 10名
生产螺母的工人：22 - 10 = 12名
螺母数量 ÷ 螺栓数量 = 24000 ÷ 12000 = 2
符合配套要求，解答正确。
答案：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。
一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
核心关系：要判断总体盈亏，需要分别计算两件衣服的成本价，然后与总售价比较。
已知条件：
盈亏关系分析：
盈利25%意味着售价是成本的125%：售价 = 成本 × (1 + 25%)
亏损25%意味着售价是成本的75%：售价 = 成本 × (1 - 25%)
总售价与总成本比较即可判断盈亏。
设第一件衣服（盈利25%）的成本为 x 元。
设第二件衣服（亏损25%）的成本为 y 元。
未知数选择理由：
需要分别计算两件衣服的成本，才能比较总成本与总售价。
对于盈利25%的衣服：售价 = 成本 × (1 + 25%)
60 = x × (1 + 0.25)
60 = 1.25x
对于亏损25%的衣服：售价 = 成本 × (1 - 25%)
60 = y × (1 - 0.25)
60 = 0.75y
方程含义：
第一个方程：盈利衣服的售价等于成本的1.25倍
第二个方程：亏损衣服的售价等于成本的0.75倍
解第一个方程（盈利衣服）：
60 = 1.25x
系数化为1
x = 60 ÷ 1.25
x = 48
盈利衣服的成本为48元
解第二个方程（亏损衣服）：
60 = 0.75y
系数化为1
y = 60 ÷ 0.75
y = 80
亏损衣服的成本为80元
解方程要点：
总成本：48 + 80 = 128元
总售价：60 + 60 = 120元
总售价 - 总成本 = 120 - 128 = -8元
所以总体亏损8元。
第一件衣服：成本48元，售价60元，盈利12元
第二件衣服：成本80元，售价60元，亏损20元
总体：盈利12元 - 亏损20元 = 净亏损8元
解答正确。
答案：卖这两件衣服总体是亏损的，亏损8元。
某次篮球联赛积分表如下：
| 队名 | 比赛场次 | 胜场 | 负场 | 积分 |
|---|---|---|---|---|
| 前进 | 14 | 10 | 4 | 24 |
| 东方 | 14 | 10 | 4 | 24 |
| 光明 | 14 | 9 | 5 | 23 |
| 蓝天 | 14 | 9 | 5 | 23 |
| 雄鹰 | 14 | 7 | 7 | 21 |
| 远大 | 14 | 7 | 7 | 21 |
| 卫星 | 14 | 4 | 10 | 18 |
| 钢铁 | 14 | 0 | 14 | 14 |
(1) 胜一场和负一场各积多少分？
(2) 用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系。
(3) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
核心关系：从积分表可以看出，每支球队都进行了14场比赛，胜场和负场积分不同。
已知条件：
解题思路：
可以使用钢铁队的数据：0胜14负积14分，求出负一场积分。
然后使用前进队的数据：10胜4负积24分，求出胜一场积分。
设胜一场积 x 分，负一场积 y 分。
未知数选择理由：
需要分别求出胜场和负场的积分，所以设两个未知数。
根据钢铁队数据：0胜14负积14分
0 × x + 14 × y = 14
14y = 14
根据前进队数据：10胜4负积24分
10 × x + 4 × y = 24
方程含义：
第一个方程：钢铁队14场全负，积14分
第二个方程：前进队10胜4负，积24分
解第一个方程：
14y = 14
系数化为1
y = 14 ÷ 14
y = 1
所以负一场积1分。
解第二个方程：
将y=1代入第二个方程：
10x + 4×1 = 24
10x + 4 = 24
移项
10x = 24 - 4
10x = 20
系数化为1
x = 20 ÷ 10
x = 2
所以胜一场积2分。
解方程要点：
设一支球队胜m场，负n场，则总积分为：
总积分 = 2m + n
由于比赛总场次为14，所以m + n = 14，n = 14 - m
因此总积分也可以表示为：
总积分 = 2m + (14 - m) = m + 14
代数关系：
总积分 = 胜场数 × 2 + 负场数 × 1
或 总积分 = 胜场数 + 14
设一支球队胜m场，负n场，且m + n = 14
胜场总积分：2m
负场总积分：n
如果胜场总积分等于负场总积分：
2m = n
又因为m + n = 14，代入得：
m + 2m = 14
合并同类项
3m = 14
系数化为1
m = 14/3 ≈ 4.67
由于m必须是整数，所以胜场总积分不可能等于负场总积分。
答案：
(1) 胜一场积2分，负一场积1分
(2) 总积分 = 2m + n 或 总积分 = m + 14
(3) 胜场总积分不可能等于负场总积分
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况。某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息。如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低。
| 匹数 | 能效等级 | 售价/元 | 平均每年耗电量/(kW·h) |
|---|---|---|---|
| 1.5 | 1级 | 3000 | 640 |
| 1.5 | 3级 | 2600 | 800 |
核心关系：综合费用包括购买成本和电费成本。
已知条件：
解题思路：
1级能效空调售价高但耗电少，3级能效空调售价低但耗电多。
需要找到一个时间点，使得两种空调的总费用相等，然后分析不同使用年限下的最优选择。
设使用年数为 n 年。
未知数选择理由：
需要比较不同使用年限下的总费用，所以设使用年数为未知数。
1级能效空调总费用：3000 + 0.5 × 640 × n
3000 + 320n
3级能效空调总费用：2600 + 0.5 × 800 × n
2600 + 400n
当两种空调总费用相等时：
3000 + 320n = 2600 + 400n
方程含义：
两种空调的总费用相等时的使用年限。
原方程：
3000 + 320n = 2600 + 400n
移项
3000 - 2600 = 400n - 320n
400 = 80n
系数化为1
n = 400 ÷ 80
n = 5
解方程要点：
当使用5年时，两种空调的总费用相等。
如果使用时间少于5年，3级能效空调总费用较低。
如果使用时间超过5年，1级能效空调总费用较低。
使用4年时：
1级能效：3000 + 320×4 = 4280元
3级能效：2600 + 400×4 = 4200元
3级能效费用较低
使用6年时：
1级能效：3000 + 320×6 = 4920元
3级能效：2600 + 400×6 = 5000元
1级能效费用较低
验证结果正确。
答案：
如果计划使用时间少于5年，购买3级能效空调综合费用较低；
如果计划使用时间超过5年，购买1级能效空调综合费用较低。