情景导入
分糖果的故事
小明的妈妈买了12颗糖果，要分给3个小朋友，每个小朋友可以得到几颗糖果？
列式计算：12 ÷ 3 = 4（颗）
第二天，妈妈又买了24颗糖果，要分给6个小朋友，每个小朋友可以得到几颗糖果？
列式计算：24 ÷ 6 = 4（颗）
第三天，妈妈买了36颗糖果，要分给9个小朋友，每个小朋友可以得到几颗糖果？
列式计算：36 ÷ 9 = 4（颗）
思考问题：
为什么糖果总数和小朋友人数都变了，每个小朋友得到的糖果数量却不变呢？
答案：
因为被除数和除数同时乘以了相同的数（0除外），所以商不变。
12 ÷ 3 = 4
(12 × 2) ÷ (3 × 2) = 24 ÷ 6 = 4
(12 × 3) ÷ (3 × 3) = 36 ÷ 9 = 4
图形演示
商不变规律的图形表示
通过图形我们可以直观地看到：
- 12 ÷ 3 = 4
- 24 ÷ 6 = 4
- 4 ÷ 1 = 4
当被除数和除数同时乘以或除以相同的数（0除外）时，商不变。
交互式图形演示
商不变！
例题讲解
核心规律例题
例1：根据商不变的规律填空
18 ÷ 6 = 3
(18 × 2) ÷ (6 × 2) = ÷ =
(18 × 3) ÷ (6 × 3) = ÷ =
(18 ÷ 3) ÷ (6 ÷ 3) = ÷ =
48 ÷ 12 = 4
(48 × ) ÷ (12 × 4) = 192 ÷ 48 =
(48 ÷ ) ÷ (12 ÷ 6) = 8 ÷ 2 =
(48 × ) ÷ (12 × 10) = 480 ÷ 120 =
商的变化规律例题
例2：观察下面的算式，发现规律
120 ÷ 6 = 20
(120 × 2) ÷ 6 = ÷ 6 = （被除数×2，除数不变，商×2）
(120 ÷ 3) ÷ 6 = ÷ 6 = （被除数÷3，除数不变，商÷3）
120 ÷ (6 × 2) = 120 ÷ = （被除数不变，除数×2，商÷2）
120 ÷ (6 ÷ 3) = 120 ÷ = （被除数不变，除数÷3，商×3）
规律总结：
- 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。
- 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。
末尾有0除法简便计算例题
例3：用简便方法计算下列各题
840 ÷ 40 = ?
简便计算：840 ÷ 40 = (840 ÷ 10) ÷ (40 ÷ 10) = 84 ÷ 4 =
3600 ÷ 600 = ?
简便计算：3600 ÷ 600 = (3600 ÷ 100) ÷ (600 ÷ 100) = 36 ÷ 6 =
5400 ÷ 90 = ?
简便计算：5400 ÷ 90 = (5400 ÷ 10) ÷ (90 ÷ 10) = 540 ÷ 9 =
易错点例题
例4：判断下列说法是否正确，并说明理由
1. 80 ÷ 20 = (80 × 0) ÷ (20 × 0) = 0 ÷ 0 = 0
理由：因为0不能作为除数，所以不能同时乘以0。
2. 150 ÷ 40 = (150 ÷ 10) ÷ (40 ÷ 10) = 15 ÷ 4 = 3...3
理由：虽然商不变，但余数发生了变化。正确的余数应该是3×10=30。
正确计算：150 ÷ 40 = 3...30
3. 240 ÷ 30 = (240 ÷ 5) ÷ (30 ÷ 5) = 48 ÷ 6 = 8
理由：被除数和除数同时除以5（非0数），商不变，计算正确。
知识要点总结
核心规律
商不变的规律：
被除数和除数同时乘或者除以相同的数（0除外），商不变。
a ÷ b = (a × c) ÷ (b × c) = (a ÷ c) ÷ (b ÷ c) （c ≠ 0）
商的变化规律
1. 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。
2. 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。
3. 被除数和除数同时乘（或除以）不同的数，商发生变化。
末尾有0除法简便计算
当被除数和除数末尾都有0时，可以同时划去相同个数的0，再进行计算。
例如：
6300 ÷ 700 = (6300 ÷ 100) ÷ (700 ÷ 100) = 63 ÷ 7 = 9
450 ÷ 90 = (450 ÷ 10) ÷ (90 ÷ 10) = 45 ÷ 9 = 5
易错点
1. 0除外：不能同时乘或除以0，因为0不能作为除数。
2. 余数变化：当被除数和除数同时除以一个数时，余数也会除以相同的数。
例如：
170 ÷ 40 = 4...10 （而不是 17 ÷ 4 = 4...1）
3. 相同的数：必须乘或除以相同的数，商才不变。
知识结构图
商不变的规律
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外）
商不变
应用：
- 末尾有0的除法简便计算
- 解决实际问题
- 验算除法
注意事项：
- 0不能作为除数
- 余数会随着被除数和除数的变化而变化
练习与巩固
1. 根据商不变的规律填空
(1) 36 ÷ 6 = 6
(36 × 2) ÷ (6 × 2) = ÷ =
(36 ÷ 3) ÷ (6 ÷ 3) = ÷ =
(36 × ) ÷ (6 × 5) = 180 ÷ 30 =
2. 用简便方法计算
420 ÷ 70 =
5600 ÷ 800 =
720 ÷ 90 =
3. 判断对错
(1) 70 ÷ 14 = (70 ÷ 7) ÷ (14 ÷ 7) = 10 ÷ 2 = 5 （ ）
(2) 48 ÷ 12 = (48 × 0) ÷ (12 × 0) = 0 ÷ 0 = 0 （ ）
(3) 150 ÷ 30 = (150 ÷ 10) ÷ (30 ÷ 10) = 15 ÷ 3 = 5 （ ）